度数法 ↔ 弧度法の相互変換

結論

ある角の大きさを度数法で表したときの値を $\theta_{\mathrm{deg}}$ ，弧度法での値を $\theta_{\mathrm{rad}}$ とします．このとき， $\theta_{\mathrm{deg}}$ と $\theta_{\mathrm{rad}}$ の比は次のように表されます．

式 ⑴ を $\theta_{\mathrm{deg}}$ または $\theta_{\mathrm{rad}}$ について整理することで，度数法 ↔ 弧度法の相互変換の式を得られます．

式 ⑵ は弧度法 → 度数法へと変換する場合に，式 ⑶ は度数法 → 弧度法へと変換する場合に有用です．

補足

度数法について

『 計量単位令 』では，「円周を三百六十等分した弧の中心に対する角度」を $1\degree$ と定義しています．

弧度法について

『 計量単位令 』では， $1\space\mathrm{rad}$ を「円の半径に等しい長さの弧の中心に対する角度」と定義しています．一般には，半径 $1$ ，弧長 $\ell$ の扇形の中心角の大きさを $\ell\space[\mathrm{rad}]$ とします．

なお， $1\space\mathrm{rad}$ は度数法に直すと約 $57\degree$ （小数点以下切り捨て）です．式 ⑵ に $\theta_{\mathrm{rad}}=1$ 及び円周率 $\pi$ の近似値を代入することで求められます．

弧度法を用いることで，中心角が $\theta\space[\mathrm{rad}]$ ，半径 $r$ の扇形の弧長は $r\theta$ と簡潔に表せます．また，その面積は $\dfrac{1}{2}r^{2}\theta$ です．とはいえ，日常生活で弧度法を目にすることは滅多にないでしょう．唯一，使う機会があるとすれば，Excel や Google Spreadsheets などの表計算ソフトで角度が絡む関数を扱うときぐらいでしょうか．

終わりに

度数法から弧度法に変換する必要に迫られる度に，いつも Google 検索に頼っていました．どうも，式 ⑵ や式 ⑶ は複雑な形に見えてしょうがないのです．毎回調べず済ませたいと考えた末，式 ⑴ だけを頭に入れておけば良いと気が付きました．

使用頻度の高いものであれば，自然と記憶してしまうこともあるでしょう．一方，そうでなければ，意識的に覚えようとしても一筋縄ではいきません．たとえその瞬間は覚えられても，いざ必要となったときには全部抜け落ちていることだって，よくある話です．芋づるだけを押さえ，必要に応じてそこから引っ張り出す——そのような賢い頭の使い方を心掛けたいものです．